Group Action in Gap

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Group Action in GAP

Group Action

GAP 中的群作用是右作用。

设$\mu: \Omega\times G\longrightarrow\Omega$ 是$G$在集合$\Omega$上的作用，
则$\mu$满足$\mu(x,gh)=\mu(\mu(x,g),h)$

Basic Action

在GAP中，群作用$\mu$可以通过定义函数u(omega,g)来构造，GAP本身已经提供了非常多的作用。

OnPoints(pnt, g) 定义为 pnt^g，例如，pnt是子群，则它是子群的共轭作用

OnRight(pnt, g) pnt*g, 例如，pnt是子群，则该作用就是子群上的置换表示

OnSets(set, g) 群元素g在集合set上的作用是对set的每个元素做^运算

OnTuples(tup, g) g在有序元组tup上的作用是对tup的每个元素做^

OnPairs 在有序对上的^作用

Permuted(list, perm) 对list按照置换perm进行重排

Orbit(g,pnt,[act]) 返回pnt的轨道,默认act是OnPoints

Stabilizer(G[, Omega], pnt[, gens, acts][, act]) 计算pnt的稳定子群

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gap> Stabilizer(g,[1,2],OnSets);
Group([ (1,2)(3,4) ])
gap> Stabilizer(g,[1,2],OnTuples);
Group(())
gap> OrbitStabilizer(g,[1,2],OnSets);
rec(
orbit := [ [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 1, 4 ], [ 2, 3 ], [ 3, 4 ],
[ 2, 4 ] ], stabilizer := Group([ (1,2)(3,4) ]) )

RepresentativeAction(G[, Omega], d, e[, act]) 计算使$d^g=e$的一个g代表元
ActionHomomorphism(G, Omega[, act][, "surjective"]) 返回act对应的置换表示，设$\phi$是G到Omega对称群的群同态，$n=|\Omega|$，它返回与$\phi$置换等价的群同态
$\psi:G\rightarrow {1,2,\cdots,n}$
若指定surjective,则它用$\psi(G)$作为目标域。

FactorCosetAction(G, U) 返回G在$U$上的置换表示，更准确地说，返回一个与G在$U$上的置换表示置换等价的满同态$\psi:G\rightarrow P$，$P$是${1,2,\cdots,n}$上的置换群

RightCoset(U, g) 可以写为 U*g
RightCosets(G,U) 返回U的所有右陪集

RightTransversal(G, U) 返回一列右陪集分解的代表元

CosetDecomposition(G, S) 右陪集分解

IsTransitive(G, Omega[, gens, acts][, act])检测一个作用是否传递

IsTransitive(G) 检测一个置换群是否传递

Stabilizer Chains